رویکرد کنترل تصادفی برای معاملات جفتی بهینه

آربیتراژ آماری یکی از راهبردهای معاملاتی پرکاربرد در چهارچوب معاملات الگوریتمی است که با بهره گیری از ناهنجاری های مقطعی رخ داده در دینامیک قیمتی دو یا چند دارایی مرتبط با هم، به طرح ریزی استراتژی های سودآور می پردازد. رایج ترین رهیافت آربیتراژ آماری، یک استراتژی تحت عنوان «معاملات جفتی» است که از دهه ی ?? میلادی در بازارهای مالی جهانی مطرح شده است. این معامله، بر یک جفت دارایی با خواص آماری مشابه متمرکز است بطوریکه اختلاف قیمت آن ها دارای یک رابطه ی تعادلی طولانی مدت می باشد. انحراف کوتاه مدت قیمت هر دارایی نسبت به این تعادل، سبب یک ناهنجاری شده که با تکنیک های برنامه ریزی شده قابل کشف هستند. در وقوع این ناهنجاری، موقعیت خرید در دارایی کاهش یافته و موقعیت فروش استقراضی در دارایی افزایش یافته اتخاذ می شود و پس از آنکه قیمت دارایی ها به رابطه ی بلند مدت خود بازگشتند، این موقعیت ها با معامله ای معکوس بسته خواهند شد. سود این استراتژی صرف نظر از جریانات بازار، از اختلاف کوتاه مدت در قیمت های این دو دارایی حاصل می شود که بیانگر یک استراتژی سرمایه گذاری بازار-خنثی است. در این پایان نامه، به بررسی یک مسئله ی بهینه سازی سبد، متشکل از دو سهم در قالب جفت و یک دارایی بدون ریسک می پردازیم. در توصیف دینامیک هر دو دارایی، عوامل پرش را با استفاده از سه فرآیند پواسون مستقل لحاظ می کنیم بطوریکه یکی از سه فرآیند، بیانگر وقوع پرش ها ی مشترک بین دارایی ها است. برای مدل سازی تفاضل لگاریتم قیمت های دارایی ها از یک فرآیند تصادفی پایا و دارای خاصیت بازگشت به میانگین در قالب یک فرآیند اورنشتاین-اولنبک استفاده می کنیم و سپس از آن برای فرموله کردن مسئله ی بهینه سازی سبد، بر اساس مسئله ی کنترل تصادفی بهره می گیریم. معادله ی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن متناظر با مسئله ی کنترل بهینه ی تصادفی، یک معادله ی دیفرانسیل پاره ای مرتبه دوم، توأم با یک مسئله ی بهینه سازی است. دشواری محاسباتی در حل این معادله، منجر به کاربرد روش های عددی می شود که در این پایان نامه دو روش عددی بکار می گیریم. روش اول، برگرفته از یک الگوریتم تقریب متوالی است که توسط آن معادله ی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن به دو قسمت، شامل یک مسئله ی مقدار مرزی و یک مسئله ی بهینه سازی تجزیه می شود و می توان با بهره گیری از روش های عددی استاندارد و با تکرار الگوریتم به محاسبه ی استراتژی بهینه ی سبد معاملات جفتی پرداخت. روش دوم، مبتنی بر نظریه ی توابع پایه ای شعاعی است که در آن، با بسط تابع ارزش منطبق بر معادله ی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن بر حسب توابع پایه ای شعاعی، استراتژی بهینه محاسبه می شود. هر دو روش، بر روی داده های واقعی برای یک جفت سهام خاص اعمال می شود و مقایسه ای بین نتایج آن ها صورت می پذیرد که ارائه کننده ی کارایی دو روش برای حل مسئله است. در انتها، با اعمال استراتژی بهینه ی محاسبه شده بر روی داده های مربوط به دو شرکت ایرانی، ارزش سبد در طی یک دوره ی زمانی خاص تعیین می شود که نتیجه ی مطلوبی در مقایسه با سرمایه گذاری در دارایی بدون ریسک به همراه خواهد داشت.